Mathematik für Ingenieure mit Python

Mathematische Grundlagen
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Python-Code
vollständiger Python-Code: fourier.py

Fourier-Analyse mit Numpy

Theorie

Es gibt die Fourier-Reihe, die Fourier-Transformation und die Fast-Fourier-Transformation (FFT). Die Theorie dazu wird sehr schön im (englischen) Wikipedia erklärt. Das deutsche Wikipedia geht auch, aber die Animationen bei der Fourier-Reihe hat nur das englische Wikipedia.

Hier sollen nun Dinge geklärt werden, die man dort aber nicht findet:

Wie berechnet man mit der FFT eine Fourier-Transformation?

3 Ansichten

Auf die Fourier-Analyse gibt es aus dem Blickwinkel
  • der Mathematik,
  • der Technik,
  • der Informatik
jeweils eine andere Sichtweise.

Ansicht der Mathematik: analytisch integrieren

Die Fourier-Transformation und die Fourier-Reihe werden durch Integrale analytisch berechnet. Diese Sichtweise ist über 200 Jahre alt und bestens dokumentiert. Wer integrieren kann, wird die Doku verstehen.

Ansicht der Technik: diskrete Messwerte

Wenn es in in der Physik, der E-Technik oder im Maschinenbau um Schwingungen und Wellen geht, dann wird dabei oftmals auch eine Fourier-Transformation eingesetzt.

Ingenieure, die z.B. an der Dämpfung eines Autos arbeiten, messen das Geräusch beim Fahren über Kopfsteinpflaster. Sie wollen dann wissen, welches Bauteil rappelt da jetzt gerade? Hierzu wird das Geräusch in seine Bestandteile d.h. in seine Frequenzen zerlegt. Genau dafür ist die Fourier-Transformation da.

Das Geräusch liegt aber als eine Folge von Messwerten vor und nicht als analytische Funktion, deshalb kann die Fourier-Transformation nicht analytisch berechnet werden. Die mathematische Sichtweise passt hier nicht.

Ansicht der Informatik: FFT

Das Integral der Fourier-transformation für die diskreten Messwerte numerisch zu berechnen dauert sehr, sehr lang, viel zu lang. Deshalb hat die Informatik eine schnelle Alternative entwickelt: die Fast-Fourier-Transformation (FFT). Die FFT ist extrem schnell. Die FFT ist aber keine Fourier-Transformation.

Synthese der drei Ansichten

Diese drei unterschiedlichen Ansichten auf Fourier (Mathematik - Technik - Informatik) sind das eigentliche Problem beim Arbeiten mit der Fourier-Analyse. Jede Sichtweise für sich ist korrekt, aber alles drei passt auf Anhieb nicht zusammen.

In dem folgenden Python-Script werde diese drei Ansichten nun aber passend gemacht.